一直想写这篇关于算法的文章，但是由于看到园子里众多研究算法的高手让我一直没有决心写下来，但高手归高手，不是高手也可以写出来让高手们拍砖，所以今天就在这里献丑了。相亲数和完全数作为数学问题的确是顶级难题，可是拿来做娱乐就不同了，从刚接触编程时C语言书上的课后习题到两年前的Intel多核编程大赛，这个题目一直伴随着我们，让我们来娱乐一下吧。
简单说一下概念，相亲数是指两个正整数中，彼此的全部约数之和（本身除外）与另一方相等。举例来说：
220的全部约数(除掉本身)相加是：1+2+4+5+10+11+20+22+44+55+110=284
284的全部约数(除掉本身)相加的和是：1+2+4+71+142=220
所以220和284就是一对相亲数。
那什么是完全数呢？即它所有的真因子（即除了自身以外的约数）的和恰好等于它本身。例如：
第一个完全数是6，它有约数1、2、3、6，除去它本身6外，其余3个数相加，1+2+3=6
第二个完全数是28，它有约数1、2、4、7、14、28，除去它本身28外，其余5个数相加，1+2+4+7+14=28
概念不多说了，直接上算法。
算法一：直接计算约数之和
这是最直接的方式了，循环计算所有可能成为约数的数字然后加和，直接到不用做过多的解释，只要会写程序，用任何语言都能实现！
1: /// <summary>
2: /// 直接计算约数之和(串行)
3: /// </summary>
4: public class Algorithm1
5: {
6: private int GetSum(int num)
7: {
8: int sum = 1;
9: int limit = (int)Math.Sqrt(num);
10: for (int i = 2; i <= limit; i++)
11: if (num % i == 0) sum += i + num / i;
12: return sum;
13: }
14:
15: public void Run(int from, int to)
16: {
17: int perfertCount = 0;
18: int amicablePairCount = 0;
19: for (int num = from; num <= to; num++)
20: {
21: int sum1 = this.GetSum(num);
22: if (sum1 == num)
23: {
24: Console.WriteLine("{0}是完全数", num);
25: perfertCount++;
26: }
27: if (sum1 > num)
28: {
29: int sum2 = this.GetSum(sum1);
30: if (sum2 == num)
31: {
32: Console.WriteLine("{0}和{1}是一对相亲数", sum1, sum2);
33: amicablePairCount++;
34: }
35: }
36: }
37: Console.WriteLine("在{0}到{1}中共有{2}个完全数和{3}对相亲数", from, to, perfertCount, amicablePairCount);
38: }
39: } 测试代码，从2计算到5000000：
1: static void Main(string[] args)
2: {
3: var stopwatch = Stopwatch.StartNew();
4: Algorithm1 algorithm = new Algorithm1();
5: algorithm.Run(2, 5000000);
6: stopwatch.Stop();
7: Console.WriteLine("计算完成共花费{0}秒", stopwatch.Elapsed.TotalSeconds);
8: Console.ReadKey();
9: } 在我的ThinkPad R400上测试运行时间大概在51秒左右，速度能不能再提高呢，让我们看看.Net4.0为我们带来的并行计算的新特性表现如何。
1: /// <summary>
2: /// 直接计算约数之和(并行)
3: /// </summary>
4: public class Algorithm2
5: {
6: private int GetSum(int num)
7: {
8: int sum = 1;
9: int limit = (int)Math.Sqrt(num);
10: for (int i = 2; i <= limit; i++)
11: if (num % i == 0) sum += i + num / i;
12: return sum;
13: }
14:
15: public void Run(int from, int to)
16: {
17: int perfertCount = 0;
18: int amicablePairCount = 0;
19: Parallel.For(from, to, num =>
20: {
21: int sum1 = this.GetSum(num);
22: if (sum1 == num)
23: {
24: Console.WriteLine("{0}是完全数", num);
25: perfertCount++;
26: }
27: if (sum1 > num)
28: {
29: int sum2 = this.GetSum(sum1);
30: if (sum2 == num)
31: {
32: Console.WriteLine("{0}和{1}是一对相亲数", sum1, sum2);
33: amicablePairCount++;
34: }
35: }
36: });
37: Console.WriteLine("在{0}到{1}中共有{2}个完全数和{3}对相亲数", from, to, perfertCount, amicablePairCount);
38: }
39: } 注意第19行，我们使用System.Threading.Tasks下的Parallel类取代传统的for循环，由于在该算法中每一次计算都是独立的，所以很适合并行，废话不多说，直接运行看结果，运行时间在26秒左右，由于我的机器是双核，所以同样是从2计算到5000000，并行的时间差不多是之前的(51秒)一半，看来Parallel真是不错的新工具啊！当然，这个是从技术上达到了速度的提升，算法本质还没有变，那能不能从算法本身提高计算效率呢？答案当然是肯定的！
算法二：通过计算所有质因数来计算约数之和
先说一下原理：记得小学的奥赛有一个题型是计算一个自然数的约数的个数(现在还有没有不清楚)，截法很简单，先分解质因数，然后把所有质因子的幂加一再相乘就是约数的个数，例如数字36=2^2×3^2，那么36就有(2+1)×(2+1)=9个约数(1,2,3,4,6,9,12,18,36)。其实能算出有9个约数，自然可以计算9个约数是什么，是2个2和2个3排列组合的结果，剩下的就不用我废话了，该算法的思路就是先分解质因数然后在逐个计算约数并加和，上代码：
1: /// <summary>
2: /// 通过计算所有质因数来计算约数之和（串行）
3: /// </summary>
4: public class Algorithm3
5: {
6: private int GetNextFactor(int num)
7: {
8: int limit = (int)(Math.Sqrt(num));
9: for (int i = 2; i <= limit; i++)
10: if (num % i == 0)
11: return i;
12: return num;
13: }
14: private List<int> Decomposition(int num)
15: {
16: var factors = new List<int>();
17: while (true)
18: {
19: var divisor = GetNextFactor(num);
20: factors.Add(divisor);
21: if (divisor == num) break;
22: num = num / divisor;
23: }
24: return factors;
25: }
26: private int Sum(List<int> divisors)
27: {
28: int sum = 0;
29: for (int i = 0, count = divisors.Count - 1; i < count; i++)
30: sum += divisors[i];
31: return sum;
32: }
33: private int GetSum(List<int> factors)
34: {
35: if (factors.Count == 1) return 1;//质数
36: var divisors = new List<int>() { 1 };
37: var factorPows = new List<List<int>>() { new List<int>() { factors[0] } };
38: for (int i = 1, count = factors.Count; i < count; i++)
39: {
40: var length = factorPows.Count;
41: if (factors[i] == factorPows[length - 1][0])
42: factorPows[length - 1].Add(Convert.ToInt32(Math.Pow(Convert.ToDouble(factors[i]), Convert.ToDouble(factorPows[length - 1].Count + 1))));
43: else
44: factorPows.Add(new List<int>() { factors[i] });
45: }
46: for (int f = 0, fCount = factorPows.Count; f < fCount; f++)
47: for (int d = 0, dCount = divisors.Count; d < dCount; d++)
48: for (int p = 0, pCount = factorPows[f].Count; p < pCount; p++)
49: divisors.Add(divisors[d] * factorPows[f][p]);
50: return Sum(divisors);
51: }
52: public void Run(int from, int to)
53: {
54: int perfertCount = 0;
55: int amicablePairCount = 0;
56: for (var num = from; num < to; num++)
57: {
58: int sum1 = this.GetSum(Decomposition(num));
59: if (sum1 == num)
60: {
61: Console.WriteLine("{0}是完全数", num);
62: perfertCount++;
63: }
64: if (sum1 > num)
65: {
66: int sum2 = this.GetSum(Decomposition(sum1));
67: if (sum2 == num)
68: {
69: Console.WriteLine("{0}和{1}是一对相亲数", sum1, sum2);
70: amicablePairCount++;
71: }
72: }
73: }
74: Console.WriteLine("在{0}到{1}中共有{2}个完全数和{3}对相亲数", from, to, perfertCount, amicablePairCount);
75: }
76: } 先看速度如何，是否比算法一更快，从2计算到5000000花费近27秒，几乎与算法一的并行版本接近，果然快很多，那么快在哪里了呢？算法一做了大量的取模和除法操作，相比于加、减、乘等操作这些操作都是很耗时的，而算法二先计算质因数，减少了很多取模和除法操作，取而代之的是很多乘法和指数运算，性能自然得到提升，但还算细心的我并没有就此下结论，我把计算范围缩小到2到100000，此时，算法一花费时间是0.18秒而算法而则是0.36秒，算法一反而取胜了，其实道理很简单，随着数字的增大，算法一计算取模和除法的操作增加也不断增加，而算法二随着数字增大计算次数却增加不明显，因为分解质因数其实是找质数的过程，但找到第一个质因数后，数字就变小了，计算量并没增加多少，相反，找到的质因数越多，计算约数的计算量就越大，所以在数字不大(相对不大)的领域里，试商次数不多所以算法一很快完成了计算，而算法二相对于算法一的却没什么太大优势，但随着数字的变大，算法二的优势会越来越明显！例如我从5000000计算到5500000，算法一就豪无优势了，落后算法二一半都不止，这让我想起了一个古老的但却众所周知的梵塔问题，算法一就是这样一个梵塔……
当然我也没忘记把这个算法改成并行版本，我就不贴代码了，只要改第56行的for就可以了，从2计算到5000000花费在16秒左右，这样我们已经从最初的51秒降低到16秒，还能更快吗？我绞尽脑汁暂时还没什么结果，因为我发现最后所花的时间都是在寻找质数上了，难怪数学界的顶级难题都跟质数有关或者围绕质数展开，还有我们程序员熟悉的加密算法RSA，也是基于大整数难以分解的“特性”上，如果不幸被我找到了快速分解算法我就不用在这写博客啦，扯远了，还是回归娱乐吧，我们还有没有办法让它再快点呢？
算法二SP1：之所以叫SP1是因为它并没有本质上的更改，只是在外围让它显得更快。话说算法界有两大秘籍，九阴真经和九阳神功——都不是，开个玩笑，其实没什么秘籍，而是方法论，无非就是时间换空间和空间换时间，根据我们的需要，时间和空间在我们的代码中转换来转换去，既然我追求的是速度，那自然是用空间来换时间喽。
算法一我还没想到哪里可以用空间来换取速度，倒是在对算法二的研究过程中我意识到大量的重复计算，最典型的是计算质数，如果缓存这些质数速度会不会快一些呢，其实是废话当然会快，花了空间速度还没提升的事情谁会愿意做呢，但仅仅缓存质数远远不够，因为最大量的计算根本不在这里，如果连续的看待分解的过程，你就会发现它是一个递归的过程，之前的计算结果对后面很有用，比如我们已经分解了36=2^2×3^2。那么当我们分解72的时候是怎样的过程呢，先找到了第一个因子2，然后得到36，继续分解，36的分解过程又做一次，重复量可想而知，有人说，你把2^2×3^2记录下来，在计算72的时候直接利用36的计算结果，说的没错，但我记录的信息是不是太大了，空间也不是这么挥霍的啊，于是我权衡再三，采用了下面的算法，先看代码：
1: /// <summary>
2: /// 通过计算所有质因数来计算约数之和（空间算法）
3: /// </summary>
4: public class Algorithm5
5: {
6: public List<int> primeList = new List<int>();
7: public int[] firstFactorList;
8: public int[] remainingList;
9: public int[] resultList;
10: public int GetNextFactor(int num)
11: {
12: var max = (int)Math.Sqrt(num);
13: for (int i = 0; i < primeList.Count; i++)
14: {
15: var p = primeList[i];
16: if (p > max) break;
17: if (num % p == 0)
18: return p;
19: }
20: primeList.Add(num);
21: return num;
22: }
23: public List<int> Decomposition(int num)
24: {
25: var divisors = new List<int>();
26: var factor = firstFactorList[num] = GetNextFactor(num);
27: if (factor == num)
28: remainingList[num] = 1;
29: else
30: remainingList[num] = num / firstFactorList[num];
31: while (true)
32: {
33: divisors.Add(firstFactorList[num]);
34: if (remainingList[num] == 1) break;
35: num = remainingList[num];
36: }
37: return divisors;
38: }
39: private int Sum(List<int> divisors)
40: {
41: int sum = 0;
42: for (int i = 0, count = divisors.Count - 1; i < count; i++)
43: sum += divisors[i];
44: return sum;
45: }
46: public int GetSum(List<int> factors)
47: {
48: if (factors.Count == 1) return 1;//质数
49: var divisors = new List<int>() { 1 };
50: var factorPows = new List<List<int>>() { new List<int>() { factors[0] } };
51: for (int i = 1, count = factors.Count; i < count; i++)
52: {
53: var length = factorPows.Count;
54: if (factors[i] == factorPows[length - 1][0])
55: factorPows[length - 1].Add(Convert.ToInt32(Math.Pow(Convert.ToDouble(factors[i]), Convert.ToDouble(factorPows[length - 1].Count + 1))));
56: else
57: factorPows.Add(new List<int>() { factors[i] });
58: }
59: for (int f = 0, fCount = factorPows.Count; f < fCount; f++)
60: for (int d = 0, dCount = divisors.Count; d < dCount; d++)
61: for (int p = 0, pCount = factorPows[f].Count; p < pCount; p++)
62: divisors.Add(divisors[d] * factorPows[f][p]);
63: return Sum(divisors);
64: }
65: public void Run(int limit)
66: {
67: firstFactorList = new int[limit];
68: remainingList = new int[limit];
69: resultList = new int[limit];
70: int perfertCount = 0;
71: int amicablePairCount = 0;
72: for (var num = 2; num < limit; num++)
73: {
74: var result = resultList[num] = this.GetSum(Decomposition(num));
75: if (result == num)
76: {
77: Console.WriteLine("{0}是完全数", num);
78: perfertCount++;
79: }
80: else if (result < num && resultList[result] == num)
81: {
82: Console.WriteLine("{0}和{1}是一对相亲数", result, num);
83: amicablePairCount++;
84: }
85: }
86: Console.WriteLine("在{0}到{1}中至少有{2}个完全数和{3}对相亲数", 2, limit, perfertCount, amicablePairCount);
87: }
88: } 我缓存了质数，每个数字的第一个因子和剩余因子的乘积以及每个数字的约数和，代码之所以没有注释是因为我写不清楚，给大家举个例子，大家再对照代码看就好：比如分解72，先找到它的第一个因子2，和剩余因子的乘积36(其实就是72/2)，然后缓存2和36做为72对应的缓存变量，然后在缓存列表中找到36的第一个因子(因为之前已经计算过)，也是2，然后看看36剩余因子的乘积是18有找到了18的第一个因子9……就这样利用了原来的结果，把取模和除法变成了查(缓存)表，这样无疑有个弊端，我们不能从中间开始算了，必须从2开始计算，先不管了，看看速度再说，从2计算到5000000花费了13秒左右，注意这里计算次数跟之前不一样，之前的算法是算到5000000，但可以超过5000000，而现在是只算到5000000，不管怎样，速度比并行版本的算法二还要快一些(前提是从2开始计算)，缓存的效果不错哦，不过内存也被吃去大片，空间换时间的代价……
算法二SP2：本来以上就是我要记录的全部内容，但由于迟迟未成文，所以最近我又发现一个“超级”快速的空间换时间的算法，比SP1快很多，请允许我先卖一个关子，先公布结果，从2计算到5000000只需要2.8秒，具体实现且听下回分解……(无耻的淫笑)
后记：郑重声明，本贴纯属娱乐帖，很多代码并没有在细节性能上过多纠缠(比如Math.Sqrt的性能还有提升空间，List申请空间处的性能提升等等……)，另外卖关子不是吊胃口，而是要说明这个SP2算法所花费的篇幅可能比较长，实在写不动了，就卖了一个关子，小弟会尽快完成下一篇，敬请期待！不过通过把这篇文章写出来(很多代码多年前就写好了)还是感触颇深的，我们面对一个问题，可以从多个角度去分析优化解决，可以从根本上想办法(算法本身)，也可以找工具(并行)，还可以在外围和结构等方面想办法(缓存……)，只要我们不停的思考，从多个角度想办法，总会有些手段给我们利用。最后，不知大家是不是也研究过此类问题，或许您有更好的算法，无论是出于兴趣还是其它，欢迎一起讨论and拍砖。
